困扰数学家25年的“切苹果”难题

学家 25 年的几何问题

　　1984 年，著名数学家让·布尔甘提出了一个猜想。

　　一个任意维度的凸体，用低一维的平面去平分，那么存在一个常数c，让凸体至少存在一个切面的面积大于c。

　　换句话说，如果你一刀平分“任意维度空间的西瓜”，随便你怎么劈，总有一个切面总大于c。

　　（Ps：以往的科学家用的是苹果的例子。但准确来说不能选苹果，因为苹果上下是凹的。）

　　在 3 维空间中，这个结论似乎很好理解，因为无论西瓜长成什么奇形怪状，总不可能在每个角度都细长。

　　像下面这样的长西瓜，竖直切下去，切面很小，可以你也可以水平切开平分它，这样切面在 3 维世界中正确的事情，到了高维空间却不一定成立。

　　这个问题后来被布尔甘自己证明，但数学家们并不满足于用平面切西瓜，而是希望能找到一个更小的切面，它可以是曲面。

　　而这恰好是 1995 年 Kannan、Lovász 和 Simonovits 三人提出的 KLS 猜想关心的问题：用来平分的最小曲面面积是多少？

　　以二维空间里的一个三角形为例。

　　这个最小的“曲面”是一段圆弧。用圆弧来平分一个三角形，中间的线长度最短，而最佳“平面”——直线——的效果略差。了更高维度的空间中，二等分的最佳平面和最佳曲面差距会变大吗？切面的面积是否和维度d有关？

　　这个问题已经不再是纯粹的数学问题。

　　普林斯顿大学数学系教授 Assaf Naor 表示，KLS 猜想在纯粹的数学和理论计算机科学中都很重要。

　　KLS 猜想的结果，直接关系到随机行走算法的运行时间，如机器学习模型中采样问题。

　　所以最后解决这个几何问题的学者，都并非几何学的专家，而是来自计算机界。

　　用统计方法解决他

　　经过数学家的抽象，KLS 猜想就像一个封装着气体的容器，找到最佳切面就是寻找容器的“瓶颈”。

　　想象一个哑铃形状的容器，里面有一个气体分子在随机运动，哑铃中间连接部分越细，分子就越难跑到另一侧。

现在人们想知道，在高维空间，这个凸的容器最细的地方有多细。（当然，哑铃并非是凸的。）

　　2012 年，Eldan 通过引入一种称为随机定位的技术，来降低这个问题与维度上界。（到底是维度d的几次幂。）

　　2015 年末，华盛顿大学的 Vempala 和 Yin Tat Lee 改进了 Eldan 的随机定位，以进一步将 KLS 因子（用于描述瓶颈是否存在）降低到维度的四次根 d1/4。

（编辑：济南站长网）

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